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第一百三十二章 这位同学,你来讲讲吧

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“本科阶段的泛函分析我们以学习线性泛函分析分析为主,非线性泛函分析一般要等到研究生阶段才开始学习。线性泛函分析主要内容,归纳起来,就是我们常说的一王一后以及四大天王。一王一后就是贝尔纲定理和hahn-banach定理,四大天王分别是开映射定理,闭图像定理,

banach-steinhaus定理,闭值域,mazur定理……”

这是一堂复习课,那老师也不多话,直接在课堂上开讲:“今天,我们就从一王一后以及四大天王入手,梳理本学期所学过的相关知识点,包括闭算子的谱分析,对称算子的自伴延,算子半群理论,线性单调算子,算子代数……”

庞学林在座位上打了个哈欠,他居住的那个招待所隔音效果一般,昨晚没睡好,这几天又一直在赶路,他着实有些累了。再加上老师讲课时还带了部分方言口音,语气不温不火,虽然讲的内容没什么问题,但还是让人感觉犯困。

庞学林不知不觉闭上了眼。

也不知过了多久,庞学林突然被一阵喧闹声吵醒。

他有些茫然地睁开眼,便发现教室里不少学生正用戏谑的眼神看着自己。

讲台上,那位秃道:“同学,这道题,你来解吧!”

庞学林点了点头,看着黑板上的题目。

【设e,

f是两个banach空间,令

a:d(a)??e→f为一个闭算子,且

d(a)??=e。求证:d(a??)??σ(f′,f)=f′d(a??)??σ(f′,f)=f′。

其中

a??是a的伴随算子,f′是f的对偶空间,σ(f′,f)为f′上的弱*拓扑,

d(a??)??σ(f′,f)表示

d(a??)在弱*拓扑σ(f′,f)下的闭包。】

将题目浏览完,庞学林几乎没怎么思考,直接开始在下面写下答案。

【结论

1:设f是e的子向量空间满足f??≠e.则存在

f∈e'不为

0,使得(f,x)=0,??x∈f。

结论2:设??:e′→r是线性映射,且对拓扑σ(e′,e)连续,则存在

x∈e使得??(f)=(f,x),??f∈e′。

证明:设??是f′上对拓扑σ(f′,f)连续的线性泛函,在d(a??)上取值为0。由结论1,为证弱*拓扑下的稠密性,只需证明??≡0。

由结论

2,存在x∈f使得……】

庞学林的书写速度很快,整个证明过程几乎没怎么停顿,只用了不到两分钟,就完成了答题工作。

“老师,答完了,应该没什么问题吧?”

王崇庆有些出神,这道题在泛函分析中,算的上是压轴大题了,对本科生而言,有一定难度。

他原本都准备等庞学林答不出来的时候,再好好教训他一番,可没想到到这家伙的基础似乎还不错,竟然眨眼间就给出了证明。

无论是证明思路还是过程,都简洁明了,几乎无懈可击。

台下,也响起了学生们的议论声。

“这家伙到底是谁啊,深藏不漏呀!”

“这道题我一直没什么思路,没想到他竟然这么快就给解出来了。”

“看样子我们数学系牛人还挺多的。”

……

不少人纷纷将目光聚焦到庞学林身上。

王崇庆脸色微沉,上课睡觉,就算成绩再好也不行,他可不想轻易放过这家伙。

他想了想,说道:“这位同学,看来你的基础不错,那你就给大家讲讲,你对泛函分析这门课的理解吧。”

泛函分析本质上属于高度抽象化的一门课程,这也是它难学的原因,就算让一位博士上台,也不一定能完完整整地将自己对这门课的理解描述出来。

王崇庆嘴角微微翘起,他可不相信一个本科生有这样的能耐。

“老师,你确定……让我来讲课?”

庞学林笑了起来。

“确定!”

王崇庆隐隐感觉到对方的笑容中有点诡异,不过他还是点了点头。

庞学林道:“既然如此,那我就从泛函分析这门课的历史开始说起吧。”

“众所周知,泛函分析这门学科诞生于20世纪的初期,本身是数学发展中公理化的一个结果。也就说,数学家希望实现分析学的公理化。同样的公理化运动也出现在几何和代数上。现在的泛函分析已经变成一个庞然巨兽了,特别是把它和调和分析放在一起的时候,很难分清楚什么叫做调和分析,什么叫做泛函分析。不过我接下来要讲的不是为了搞清楚它的定义,而是关注它的基础和未来的发展趋势。”

“我们首先讨论一些早期的抽象分析,尤其是数学家如何将一个特殊的例子扩大化,使之成为一般意义上的定理。我们的讨论主要涵盖以下内容。一、fredholm,

hilbert关于积分方程的工作;二、volterra

和hadamard

关于动量问题的研究;三、lebesgue,

frechet

riesz

在抽象空间上的工作以及最后,hahn

和banach关于对偶这个概念的研究……”

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