第八章 矩规作图
因有爱才之心，张同心中才会这样呐喊。
最后一道题，根本不可能解答出来！
五年前他就见过这道题，虽然他没有一直研究，却也在当初沉迷过一段时间。
正是，上有所好，下必效焉。
当初张同刚刚入学，先生就出了这么一道算是给弟子们平时玩的题目。
那时候同窗三十多人，都觉得自己是天之骄子，又都希望得到先生的青睐，哪一个没有在这道题上浪费几个月的时间？
那可都是那一年稷下学宫九数科的人才啊！
即便那样，直到现在，这道题也没有答案。
张同猜不出先生的目的。
或许是妙手偶为之？或许是希望遇到天才？可总归这道题是出出来了。
而这道题，根本不可能再这么短的时间内答出来。
这正是张同暗骂陈旭疯了的原因。
因为同学九数，他太明白九数的魅力了，一旦沉浸其中，根本觉察不到时间的流逝。
然而考试，却是有时间限制的！如果铜铃声响起，那就要封上姓名收走试卷的。
两道题虽难，却也只占了总分数的两成，还有更多的简单题目，那才是分数的关键点。
爱才之心下，张同真的想提醒一下陈旭，这道题不要去做了，先去做前面的。
可他也知道自己是监考，不能这样做，心中不由一沉，叹了口气，心道：“陈旭啊陈旭……可惜了。”
带着这种惋惜，张同背着手，离开了陈旭的位置，朝别处走去。
然而，他根本不知道，陈旭见过这道题，而且好奇地研究过。
陈旭知道这道经典题目在数学史上的地位，那不仅仅是一个天才的传说，更是涉及到更深广的问题——诸如群论、拓展和高次方程是否有通用解等诸多问题。
引入虚数和复数概念后，等分圆用三角函数和代数表达，都可以写成x的n次方-1=0的问题。
换言之，尺规作图问题，都可以建立一个相应的代数方程，这个解就是要求的量。而这个量，必须是给定量的域的某个二次扩张域。
这又涉及到，除了2的次方数之外，哪些数的正多边形可以用尺规做出？哪些不能？能的为什么能？不能的为什么不能？
如果正十七边形可以画出来，那么也就说明x的十七次方-1=0可以用根式求解，而17这个数又是个特殊的数，17=16+1。
也就是说，17=2的2的2次方加1，而且是个素数，也就是前世所谓的费马数。
如果费马素数的正多边形都可以用尺规做出，是不是内在有什么必然？是不是说，高次方程想要根式解的必要条件，和2的方幂有什么关联？
不过那是这个时代九数的顶尖人才要考虑的问题。
前世这道题的内在本质，在那个时代，折磨着伽罗瓦、拉格朗日、高斯……
陈旭既不会，也没有能力涉及到本质问题。
他要做的，只是答出这道题。
这道题的关键，在于将几何化为代数问题。
尺规作图之下，任何加减乘除和开方的数字，都可以画出。
看似最复杂的开方，用尺规也不过是个简单的问题。
假设画一条长为根号a的线段，只需要一个直径为（1+a）的圆，在距离1的直径上，做垂直于直径的线连接到圆周，这条线段的长度就是根号a，这是简单的相似三角形的射影定理。
如果愿意画，再加上纸张足够大，哪怕是一万个根号下的某数都可以画出来，只要是平方根就行。
至于加减乘除，那就更为简单。
所以，这道题化几何为代数后，其实就是求这个正十七边形分成的十七个角的正弦值或者余弦值，是否能够用加减乘除和开平方根的方式表达出来。
因为这道题太过有名，不学数学的人看了后可以惊叹数学王子的天才，学过数学的人知道这道题背后的沉重和包含的意义，故而陈旭前世曾经仔细看过这道题。
读书什么时候都不晚，读书也不知道什么时候就用得上，陈旭暗自庆幸，于是按照前世看过的步骤，将这道几何体化为代数。
利用三角函数的简单定理，正弦余弦的关系，将复杂的式子简化之后，再用代数的定理，得到了一个表达式。
这个表达式最终化简求和后，得出了一个多次根号的数字，但正如之前所说，根号再多，只要是开平方，哪怕一万层二次根号，都可以用尺规做出来。
所以到这里，证明已经完毕，既然这个角的余弦值，是一个加减乘除和根号的组合，并没有出现开三次方之类的符号，所以可知正十七边形是可以用尺规做出的。
在证明了可以用尺规做出后，陈旭又按图索骥，将自己曾经惊叹不已的画法做出。
画法并不复杂，一张纸足够。
思路就是用三角函数和积化和差公式，将最终的余弦值，也化为一个二次方程的求根公式，也就是经典的-b加减根号下b方-4ac的式子。
一共需要化简五步，也就是需要作出四条线段，前一条线段的长度作为下一条线段长度的求根公式中的定值。
因为加减乘除和平方根，都可以用尺规做出，所以这个问题也就简化成了以原本圆的半径为定值1，画出新圆后再以新的圆的半径作为信的定值1，继续画下一个二次方求根公式下的新圆。
在预先知道答案的前提下，画法反倒是比论证简单。
陈旭拿出直尺和圆规，很快完成了这道题目，然后翻看起试卷的前面，终于松了口气。
前面的题目，简单得多，很符合现在的水平，大部分都是些应用题或者简单的平面几何，这是和九数最开始的用处相承的。
就像是翻越了高山，再去看门前的小丘，便觉渺小。
前面的题目，陈旭真可以用行云流水来形容自己的感觉，畅快无比，运笔如飞。
留意到陈旭的监考张同，发现陈旭提起尺规做了几笔后就翻过了卷子，心下暗暗点头，甚至不由地松了口气。
能够借着这个机会鱼跃龙门的贫民子弟，他是有怜悯之心的。
再加上刚才的压轴题解答，更让张同颇为赞赏，他可不希望陈旭走入误区，最终因为死磕最后一道题目误了前程。
“知道放弃，总是好的。舍得舍得，有舍才有得。”
心下如此想着，心想陈旭既然放弃了最后一题，那么这一次十有七八是要考上的。
九数学得好的，物理和力学分析都不会太差，这一点毋庸置疑。
张同心想，说不定以后稷下学宫里，要常见了。
暗自下了定论，又转悠到了陈旭的身后，扫了一眼，看着最后一道题上简单到有些简洁的做法，心下暗笑。
他以为尺规做正十七边形必然需要几十步甚至上百步，既然如此简洁，显然没有做出。
可当他扫过前面的代数论证后，张同差点忍不住叫出声来。
“他……他居然做出来了？”
“不可能！这不可能！”