第七章 无理还是有理
监考张同扫视了一圈，看了看考场上的千姿百态。
他也是这样过来的，所以下意识地寻找一些他熟悉的习惯。
在多数人都在奋笔疾书的时候，张同注意到了第二排的一个年轻人。
“他和我的习惯一样，也是先看看卷子的最后几题。”
想到这，他不禁在心底叹了口气。
这个习惯也好也不好。
他考试的那一年，出题的不是自己的先生葛俊，而是另一位稷下学宫的九数博士。
那一年的题不难，所以张同考试的那一年，他的习惯给他带来的极大的好处：看完最后两道题，信心倍增，一鼓作气，思如泉涌。
反之亦然。
可这一年……
张同心想，这个可怜的孩子。
贫民子弟能够参考颇为不易，他虽然不是贫民出身，却也知道一些贫民子弟想要学习是多么困难。
能够连过两次初试，证明能够坐在这里的人已经是在同龄人中水平拔尖的那些了。
所以张同看到那个年轻人后，真的是心生怜惜。
想想自己，如果上来就看最后两道题，必然是心烦意乱，忐忑不安。
到时候只怕前面的简单题目也难做好。
想到这，他暗暗摇头，再度打量起这个年轻人。
和大部分贫民子弟一样，这个年轻人也留着被贵族们戏称为“髡贼”的短发。
这些年在稷下学宫的大部分场合，没有贵族会明面这样叫了。
两年前出过一次恶性事件，被贵族戏称为“髡贼”的一名贫民子弟，因为这个称呼连杀六人。
除了头发，肤色也和大部分贫民子弟一样，略微有些黑，不过模样也算是俊俏。
让张同意想不到，这个年轻人扫了一眼卷子后，片刻后就点了点头，然后低头拿起了笔。
“咦？”
张同有些惊奇，心说难道这个年轻人居然会？
带着几分好奇，他踱步到了这个年轻人的身后。
正忙着做题的陈旭并没有注意到周围的情况。
压轴题他已经想到了解答的方法。
而最后的压台题，陈旭暗暗腹诽过出题人会被人往窗户上扔屎后，其实心情是愉快的。
把圆均分成十七份这个题的另一种说法，其实就是尺规做正十七边形。
在前世，这是一个很出名的典故，这个典故的拥有者，从小就在各种故事中计算着1+2+……到100，从陈旭上学计算到他的侄子辈上学，可能还要在各种孩童读物中计算到太阳毁灭前的那一天。
陈旭研究过这道题，所以他相信，应该说，这一届的考生绝大部分都不可能做出这道题。
而这，就让他有更多的机会，爬到别人的头上，踩着他们的尸体，跨过这道独木桥！
“美滋滋啊，这一次稳了。”
压抑着要笑出来的情绪，陈旭拿起墨水笔，沾了一点墨水，先开始解答倒数第二道压轴题。
tan1是有理数还是无理数。
这道理看似很难，实际上在数学意义上并不难，而更多的是一种逻辑思维方式。
正常的推理是很难的，但如果用反证法，则其实也就是一道常规的三角函数题。
假设，tan1是有理数。
那么，利用和角公式，可知tan2等于2tan1/1-tan1的平方。
任何有理数都可以写成分数的形式，也就是两个正整数的比。
假使tan1为有理数，那么根据和角公式，tan2也是有理数。
知道了tan1和tan2是有理数，再度和角公式，可知tan3、4……乃至30，都是有理数。
然而众所周知，tan30是根号三分之一。
根号3很显然是无理数，所以与之前的假设不符，由此反证，tan1不是有理数，而是无理数。
如果这道题不是考虑逻辑方法，而只是简单的和角公式，其实这也就是一道初中难度的题。但若这样一变形，便很难了，而难点却是在思维方式上。
按说这道题写到这里已经算是解答完毕。
可是前世在可怕的怪题下养成习惯的陈旭，还是仔细地重看了一遍题目，确定题目上没有（已知根号3是无理数）的提示后，他怀疑出题的人又是在挖坑。
“还好我上辈子刷的题多。想坑我，下辈子吧。”
这样想着，陈旭又提起笔，在后面继续写下去。
假设根号3为有理数，则根号3必然可以写成a/b的形式，此ab互质，没有公约数。
平方后，可知3b方=a方。
显然，a是3的倍数，可以被3整除。
则设a=3c，a方=9c方=3b方。
可知b也是3的倍数。
而根号3可以写成a/b的形式，则a和b必然没有公约数为互质。
然而根号3为有理数的假设下，a与b却有公约数3，与假设不符。
由此反证根号3为有理数的假设不正确，所以根号3为无理数。
综上所述，可知，tan1为无理数。
确信这道题再也没有其余的坑，陈旭这才长松了一口气，应该说这道题自己已经完全解答了出来。
这道题本质上和前世两千年前的《几何原本》中证明根号2是无理数的思路一致，而且考量的重点应该也是思路而非和角公式。
至于那个根号3的坑，陈旭以前世的刷题经验，以为这是一个故意的挖下的坑，庆幸于自己的小心。
他正沾沾自喜，扭动了一下肩膀，伸出手将手指扣在一起，向前猛然一伸，咯咯作响。
站在他身后的张同已经惊住了。
这道压轴题在他发卷子的时候就已经注意到，脑子里也在思索这道题。
可是全无思路，茫然如暗夜。
这道题的难点，也就在于那一张窗户纸。
当陈旭写出第一个和角公式的时候，张同就觉得自己脑海中的暗夜忽然划过了一道闪电，这一道闪电如同故事中盘古开天时候的第一抹光，随后旭日东升，一切明亮。
这道窗户纸一破，张同就知道陈旭这道题已经答出。
他暗暗惊奇，心想从拿到卷子到解出这道题才用了多久？
这道题不要说这些贫民出身的考生，就是那些可以无忧无虑学习的贵族子弟，只怕也是难以答出，更何况在这么短的时间。
想到这，张同暗暗看了一下陈旭卷子上的名字，暗道：“陈旭？嗯……应该可以成为我的学弟。运气好的话，说不定也可以做先生的弟子。”
这样想着的时候，陈旭已经开始证明根号3是无理数了，张同更是暗暗点头。
他已经脱离考试太久，以至于沉醉于数字之中，却忘了考试和研究的目的根本不同。
这么快的答出题目，又心细无比地找到了题目的漏洞，若无意外，这个年轻人当为这个考场的魁首！
心中生出了一股爱才之心，心满意足，正要离开，却看到陈旭再度提笔，似乎要去解答最后一题。
张同心中一动，暗道：“这孩子，你疯了？”